octave:1> A=[3 -2 7; 6 1 -1; 1 1 2]
A =

   3  -2   7
   6   1  -1
   1   1   2

octave:2> b = [7 0 -1]'
b =

   7
   0
  -1

octave:3> E1=eye(3);  E1(2,1) = -2
E1 =

   1   0   0
  -2   1   0
   0   0   1

octave:4> E1 * A
ans =

    3   -2    7
    0    5  -15
    1    1    2

octave:5> E2=eye(3);  E2(3,1)=-1/3
E2 =

   1.00000   0.00000   0.00000
   0.00000   1.00000   0.00000
  -0.33333   0.00000   1.00000

octave:6> E2 * E1 * A
ans =

    3.00000   -2.00000    7.00000
    0.00000    5.00000  -15.00000
    0.00000    1.66667   -0.33333

octave:7> E3=eye(3);  E3(3,3)=3    % in this by-hand case I put in a type II unnecessarily
E3 =

Diagonal Matrix

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   3

octave:8> E3 * E2 * E1 * A
ans =

    3   -2    7
    0    5  -15
    0    5   -1

octave:9> E4=eye(3);  E4(3,2)=-1
E4 =

   1   0   0
   0   1   0
   0  -1   1

octave:10> E4 * E3 * E2 * E1 * A
ans =

    3   -2    7
    0    5  -15
    0    0   14

octave:11> U = E4 * E3 * E2 * E1 * A
U =

    3   -2    7
    0    5  -15
    0    0   14

octave:12> L = inv(E1) * inv(E2) * inv(E3) * inv(E4)
L =

   1.00000   0.00000   0.00000
   2.00000   1.00000   0.00000
   0.33333   0.33333   0.33333

octave:13> L * U
ans =

   3.0000  -2.0000   7.0000
   6.0000   1.0000  -1.0000
   1.0000   1.0000   2.0000

octave:14> A
A =

   3  -2   7
   6   1  -1
   1   1   2

octave:15> norm(A-L*U)
ans =  8.9509e-16

octave:16>